MATERI BILANGAN

 

Rangkuman Matematika Kelas 7
Bab 1 Bilangan

foto: Sumber Penulis

Bilangan adalah sebuah konsep matematika yang memberikan nilai jumlah pada sesuatu yang dihitung. Hal ini yang membuat bilangan dipakai dalam pengukuran dan pencacahan. Sebuah bilangan juga memiliki simbol atau lambang yang biasa kita sebut dengan angka. 

Bilangan bulat merupakan kumpulan atau himpunan bilangan yang nilainya bulat.

Bilangan bulat ini terdiri atas bilangan cacah dan bilangan bulat negatif. Himpunan bilangan bulat dalam matematika dikembangkan dengan Z. Lambang tersebut berasal dari Jerman, yaitu Zahlen yang memiliki arti bilangan.

Sementara itu, bilangan cacah sendiri adalah himpunan bilangan yang terdiri atas bilangan nol dan bilangan bulat positif. Bilangan bulat positif dapat disebut juga sebagai bilangan asli, yang merupakan himpunan bilangan bulat yang bernilai positif.

Sementara itu, bilangan bulat negatif adalah bilangan yang bernilai negatif.  Kemudian, bilangan asli terbagi atas bilangan ganjil, genap, prima, dan komposit. Bilangan ganjil adalah himpunan bilangan yang bukan kelipatan dua atau nilainya tidak akan habis bila dibagi 2. Kebalikannya, bilangan genap adalah himpunan bilangan kelipatan 2 atau nilanya akan habis bila dibagi 2.  Lalu, ada bilangan prima yang merupakan himpunan bilangan yang lebih besar dari 1 dan hanya dapat dibagi oleh 1 atau bilangan itu sendiri. Misalnya, 2 adalah bilangan prima lantaran hanya dapat dibagi 1 dan bilangan itu sendiri yaitu 2. Sementara 4 bukan bilangan prima lantaran dapat dibagi oleh angka 1, 4, dan juga 2. 

Maka dari itu, bilangan yang nilainya lebih besar dari 1 dan tidak termasuk ke dalam bilangan prima, berarti bilangan ini adalah bilangan komposit. Misalnya adalah 4 tadi. Bilangan 4 lebih besar dari 1 dan bukan bilangan prima lantaran dapat dibagi oleh angka 1, 2, dan 4 sehingga termasuk bilangan komposit.

1. Penjumlahan

penjumlahan dengan jenis yang sama akan menghasilkan jenis yang sama juga. Bila bilangan positif ditambahkan dengan bilangan positif juga, makan akan menjadi bilangan positif. Sama dengan bilangan positif, bila bilangan negatif ditambah dengan negatif, maka hasilnya adalah negatif. 

Misalnya: 7 + 3 = 10

(-2) + (-3) = -5

Bila penjumlahan dengan jenis yang berbeda, maka hasilnya adalah pengurangan dan jenis yang diperoleh dari bilangan yang paling besar. Saat bilangan yang paling besar negatif, maka hasilnya adalah negatif. Sama dengan bilangan negatif, bilangan yang paling besar positif maka hasil pengurangannya akan menjadi positif. 

 -5 + 3 = -2

12 + (-2) = 10

2. Pengurangan

Saat operasi pengurangan maka bilangan negatif bertemu dengan simbol pengurangan seperti (-). 

Contoh: 5 – 3 = 2

(-2) – (-4) = (-2) + 4 = 2

Sementara untuk pengurangan jenis berbeda akan dijelaskan dengan contoh berikut ini.  Contoh: 6 – (-7) = 6 + 7 = 13

(-10) – 15 = 5

3. Pembagian

Untuk pembagian bilangan positif yang dibagikan dengan bilangan positif juga maka hasilnya akan positif. Bila bilangan negatif dibagi dengan negatif maka hasilnya adalah positif. Sementara untuk bilangan positif yang dibagikan dengan bilangan negatif maka akan menjadi bilangan negatif.  Contoh: Bilangan bulat positif 10 : 2 = 5

Bilangan bulat negatif (-8) : (-4) = 2

Bilangan bulat positif dan negatif

(-12) : 6 = -2

21 : (-7) = -3

4. Perkalian

Bilangan positif yang dikalikan dengan bilangan positif juga maka akan menjadi positif. Sementara bilangan negatif yang dikalikan dengan bilangan negatif maka akan menghasilkan bilangan positif. Sedangkan bilangan positif yang dikalikan dengan bilangan negatif, maka akan menjadi negatif. Contoh: Bilangan bulat positif 9 x 9 = 81

Bilangan bulat Negatif (-3) x (-2) = 6 Bilangan bulat positif dan negatif 3 x (-5) = -15

Membandingkan Bilangan Bulat

Membandingkan bilangan bulat berarti menentukan apakah sebuah bilangan mempunyai nilai lebih besar, lebih kecil, atau sama dengan bilangan bulat yang lain. Dalam membandingkan bilangan bulat, kita dapat menuliskannya memakai lambang berikut ini. 

Jika a lebih besar dari b, maka bisa ditulis a > b

Jika a lebih kecil dari b, maka bisa ditulis a  b

Jika a sama dengan b, maka bisa ditulis a = b

Mengurutkan Bilangan

Mengurutkan bilangan bulat berarti menuliskan bilangan tersebut secara urut dari nilai terkecil ke nilai yang terbesar atau sebaliknya. Dalam garis bilangan, semakin ke kanan letak sebuah bilangan, maka nilainya akan semakin besar. Sebaliknya, bila semakin ke kiri, maka nilai sebuah bilangan akan semakin kecil.

 

Macam-macam Bilangan

1. Bilangan asli

Bilangan asli merupakan himpunan dari bilangan positif yang terdiri dari angka selain nol (0).

Contohnya: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,0,11,12,dst...}

2. Bilangan cacah

Bilangan cacah merupakan himpunan dari bilangan bulat yang bersifat positif (bukan negatif) dan dimulai dari nol.

Contohnya: {0.1.2.3.4.5.6.7.8.9,dst...}

3. Bilangan bulat

Bilangan bulat merupakan himpunan gabungan dari bilangan cacah {0,1,2,3,4,5,...} Dan juga bentuk negatif dari bilangan tersebut {-1,-2,-3,-4,-5,...} Karena -0 sama nilainya dengan 0 maka cukup menuliskan 0 saja di dalam himpunan bilangan bulat.

 

Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat, maka kalian harus mengetahui sifat-sifat penjumlahannya:

Sifat-sifat Penjumlahan Bilangan Bulat

a. Tertutup : a + b adalah bilangan bulat

b. Komutatif : a + b = b + a

c. Asosiatif : (a + b) = a + (b + c)

d. “0” adalah unsur identitas penjumlahan yang memenuhi à a + 0 = 0 + a = a

e. –a adalah unsur invers (lawannya) penjumlahan yang memnuhi à a + (-a) = (-a) + a

 

Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat, maka sifat perkaliannya adalah:

a. Tertutup : a x b adalah bilangan bulat

b. Komutatif : a x b = b x a

c. Asosiatif : (a x b) x c = a x (b x c)

d. 1 adalah unsur identitas perkalian yang memenuhi à a x 0 = 0 x a = 0

e. jika a ≠ 0, maka a^-1 = 1/a adalah unsur invers perkalian yang memenuhi a x a^-1 = a^-1 x a = 1

Operasi penjumlahan dan perkalian dalam himpunan bilangan bulat menmiliki sifat distributif yaitu:

 

Ax(b+c) = axb + axc

 

Bilangan prima

Bilangan prima merupakan himpunan bilangan asli yang hanya memiliki 2 buah faktor yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Kebalikan dari bilangan prima adalah bilangan komposit.

 

Contohnya, 3 termasuk ke dalam bilangan prima karena 3 hanya hanya memiliki 2 buah faktor (1 dan 3) artinya 3 hanya bisa dibagi dengan 1 dan 3 dan tidak menghasilkan pecahan. Berbeda dengan angka 8, angka 8 tidak termasuk ke dalam bilangan prima karena ia memiliki lebih dari 2 faktor yaitu 1, 2, 4, dan 8. 1 juga tidak termasuk ke dalam bilangan prima karena ia hanya memiliki satu buah faktor yaitu angka 1 itu sendiri.

 

20 bilangan prima pertama adalah:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, ...

 

Perlu kalian ketahui juga bahwa angka 2 adalah satu-satunya bilangan prima yang bersifat genap.

Bilangan riil

Bilangan riil merupakan kelomok bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 1,3425 atau 8,8452637. Bilangan real terdiri dari bilangan rasional dan irasional.

 

Bilangan rasional 

adalah bilangan riil yang bisa kita tuliskan dalam bentuk a/b dengan a dan b adalah bilangan bulat dimana b≠0. Contohnya adalah 42 dan 123/129.

Bilangan irasional 

adalah bilangan riil selain bilangan rasional, misalnya: π (2,34...) dan √2

 

Bilangan imajiner

Bilangan imajiner menyatakan bilangan selain bilangan riil, seperti √-1. √-1 biasanya disimbolkan dengan huruf "i" jadi √-3 = 3i